Jeg har tenkt å ta for meg noen eksempler på hvordan lommeregneren TI-82/TI-83 kan brukes innenfor temaet følger og rekker.
Alle taster og menyvalg på lommeregneren er markert med fet
skrift, f.eks. "tast ENTER".
Har brukt TI-83 som eksempel, men har ikke brukt funksjonalitet
utover det som også finnes i TI-82.
Minner kort om teamet vårt; følger og rekker:
Tallfølger er tall som følger etter hverandre (hva ellers?) med komma i mellom f.eks.:
1,2,3,4,5,...
1,0,1,0,1,...
1,2,4,8,16,...
Rekker er tall som følger etter hverandre med pluss i mellom, d.v.s. en sum av tallene i en tallfølge, f.eks.:
1+2+3+4+5+...
1+0+1+0+1+...
1+2+4+8+16+...
Tallfølger/rekker kan være endelige eller uendelige. (De over er uendelige, markert med "...".)
I skoleverket har læreplaner alltid konsentrert seg om to hovedtyper av følger/rekker: Aritmetiske og geometriske. Dette skyldes antagelig at disse typene gir enklest regning, ikke at de er de eneste interessante tilfellene!
Med "enklest regning", mener jeg at man har formler til å løse vanlige problemstillinger av typen:
For aritmetiske og geometriske følger og rekker klarer vi oss vanligvis med disse fire formlene:
| an=a1+d·(n-1) | n'te ledd i aritmetisk følge. Førstegradsfunksjon av n! |
| Sn=(a1+an)·n/2 | Sum av n ledd i aritmetisk følge. Blir andregradsfunksjon av n! |
| an=a1·kn-1 | n'te ledd i aritmetisk følge. Eksponentialfunksjon av n! |
| Sn=a1·(kn-1)/(k-1) | Sum av n ledd i aritmetisk følge. Eksponentialfunksjon av n! Samme grunntall som følge! |
Disse formlene er eksplisitte, det vil si at de gir oss en formel for n'te ledd direkte.
Det finnes også såkalte rekursive formler:
| an+1 = an + d, a1 gitt | Første ledd gitt (a1), resten kan genereres utover v.h.a. den rekursive formelen. |
| an+1 = an·k, a1 gitt | Første ledd gitt (a1), resten kan genereres utover v.h.a. den rekursive formelen. |
For andre følger/rekker enn de aritmetiske og geometriske,
kan det være lettere å finne disse rekursive uttrykkene.
Lommeregner eller regneark kan brukes til raskt å generere så
mange ledd man måtte ønske.
Målsettingen med dette dokumentet er å vise hvordan lommeregneren kan brukes til å kontrollere utregninger med formlene over, samt å gi noen eksempler på hvordan lommeregneren kan løse problemer som ikke baserer seg på at følgene er aritmetiske eller geometriske!
TI-lommeregnerene kan alltid tilbakekalle siste verdi/svar i vinduet ved hjelp av knappen ANS.
I tillegg kan de ti siste inntastede tall eller uttrykk tilbakekalles ved å trykke ENTRY til ønsket uttrykk dukker opp på skjermen.
Prøv følgende inntasting:
Gratulerer, du har vist at det tiende leddet i den aritmetiske følgen 1,3,5,7,... er 19. Denne enkle fremgangsmåten er spesielt godt egnet til rekursivt definerte følger.
Prøv selv å finne opptjent kapital etter 10 år ved å sette inn 1200 kroner årlig i banken til 5% rente med denne fremgangsmåten.
Legg merke til at metoden er generell, vi er ikke begrenset til aritmetiske og geometriske følger:
Vi har en skog med 10000 trær. La oss si at antallet trær øker med 5% i året, men at vi feller 20% av trærne og planter 1000 nye hvert år.
Hva skjer med antallet trær i det lange løp?
En ungdom vinner kroner 1.000.000 i Lotto, setter pengene i banken og ønsker å heve et fast årlig beløp slik at kontoen er tom når pensjonsaldren oppnåes 40 år senere.
Prøv å eksperimentere deg frem til hva det faste
årlige beløpet må være hvis vi regner med 5% bankrente.
(Husk å bruke ENTRY hver gang du starter et
nytt eksperiment, så slipper du å taste inn det rekursive
uttrykket på nytt hver gang!)
Metoden er velegnet til raske overslag og eksperimenter når følgen er rekursivt definert. Problemet er at man blir lei av å trykke ENTER hele tiden.
Vi trenger derfor andre, mer avanserte teknikker.
TI-lommeregnerene har en meget anvendelig liste-funksjon!
Tall-lister og følger kan legges i lister ved f.eks. å skrive:
{1,2,4,8,16,32}
Listene kan legges i egne listevariabler L1, L2 o.s.v. ved f.eks. å skrive:
{1,2,4,8,16,32} STO> L1
eller ved å skrive inn tallene direkte i en egen listeeditor på STAT, 1:Edit.
Vi ønsker å studere følgen gitt ved:
Vi kan f.eks. studere de 50 første leddene ved å generere dem med kommandoen
LIST, OPS,5:seq(1,1/2^N,N,1,50,1)
gjøre dem om til brøker med MATH,1:Frac og summere alle 50 leddene med LIST, MATH,5:sum, ENTER, ANS, ENTER:
Hvis vi har et mer komplisert uttrykk, kan vi legge det i Y1
og isteden bruke seq(Y1,X,1,50,1).
Det har også den fordel at vi kan grafe utviklingen av
følgen!
Ønsker vi å lagre en liste, kan vi gjøre dette med STO>,
L1 (evt. L2, L3
o.s.v.)
La oss se på en annen berømt rekke:
Utropstegnet ! betyr her fakultet, og finnes i MATH, PRB, 4:!.
5!=5·4·3·2·1=120
7!=7·6·5·4·3·2·1=5040
0!=1 (Definert slik av lempelighetshensyn.)
(Legg merke til at n starter på 0 og ikke 1 i følgen over.)
Vi kan studerre f.eks. de første 221 leddene med seq(1/N!,N,0,20,1) og summere dem med sum(ANS):
De fleste bør dra kjensel på dette tallet!
Listefunksjonene sum( og seq( er altså velegnet til å studere følger og summen av de tilsvarende rekker, men listene har sine begrensninger.
TI-lommeregnerene har et eget funksjons- og grafisk modus kalt
Seq, som vi finner i 4de linje i vinduet når vi trykker på MODE.
Disse gir mulighet for rekursive definisjoner og mulighet til å
summere etterhvert som følgen genereres.
Når vi trykker Y= for å legge inn funksjonsuttrykk får vi sekvensfunksjonene u(n) og v(n) i stedet for de vanlige funksjonene Y1, Y2, ..., Y9.
Poenget med u(n) og v(n) er at de tillater rekursive definisjoner som f.eks.:
u(n)=u(n-1)·1/2, d.v.s. en geometrisk følge med kvotient k=1/2
v(n)=v(n-1)+u(n-1), d.v.s. en følge som fortløpende summerer den første følgen i u(n) !
For sammenligningens skyld, ser vi igjen på følgen 1,1/2,
1/4, 1/8, 1/16, ... .
Sekvensfunksjonene krever en del innstillinger med menyene som
kommer fra knappene WINDOW og Y=.
WINDOW bestemmer grafvinduet, mens Y= definerer følgene.
Når dette er gjort, kan vi grafe u(n) og v(n) på vanlig måte
Tallverdier kommer greit frem på vanlig måte med TRACE.
OBS: v(n) ligger da "en etter" u(n) og summerer leddene i u(n) rekursivt etter hvert som lommeregneren regner ut u(n).
Utregninger kan vi gjøre slik:
u(10) gir f.eks.: 0.001953125 (Frac gir 1/512)
v(101) gir 2, som alstå er summen av de 100 (obs!) første leddene i u(n)
I tillegg har sekvensfunksjonene u(n) og v(n) en funksjon tilsvarende seq( under listefunksjoner.
u(1,10,1) gir f.eks.: {1 .5 .25 .125 ...}
Det bør nevnes at u(n) og v(n) også kan defineres eksplisistt, f.eks. ved:
u(n)=1/2^(n-1) (n-1 for å stemme med følgen over.)
Bruk metodene over til å løse følgende oppgaver:
La oss si at vi har en bestand av 1000 vågehval som har en årlig fødselsrate på 5%. Hva skjer med bestanden hvis vi høster en kvote på 60 hvert år?
Hvor stor kan kvoten være hvis bestanden ikke skal dø ut?
En annen høstningsstrategi er "terskel-høsting", der vi høster antall individer over en viss terskelverdi, f.eks. 800 individer. Legg inn dette. Hva skjer nu?
For å gjøre modellen mer realistisk, kan vi la den årlige fødselsraten variere tilfeldig! La oss si at fødselsraten varierer tilfeldig mellom 0% og 10%. Undersøk hva som skjer med høsting etter både kvote-prinsippet og terskel-prinsippet!
(Du bør simulere dette flere ganger ved å bruke DRAW, 1:ClrDraw mellom hver simulering!)Ved å summere individene som høstes i v(n), kan man finne ut hvilken strategi som gir mest gevinst sett over f.eks. 50 år.
Vurder igjen forskjellige høstingsstrategier!
Tips:
u(n)=u(n-1)(1+0.1*rand)-50
rand (tilfeldige tall mellom 0 og 1) finner du i MATH, PRB
De metodene vi har gjennomgått hittil takler et ganske vidt spekter av problemstillinger, men vi forutsetter hele tiden at vi kan finne et uttrykk for det n'te leddet i følgen, enten eksplisitt eller rekursivt definert.
Vi skal derfor til slutt se litt på noen muligheter for å finne disse uttrykkene ut i fra en oppgitt liste med tall.
La oss se på en følge, hvor uttrykket for det n'te leddet ikke er helt åpenbart ved første øyekast:
an: 0,2,6,12,20,30,42,...
Er den aritmetisk? Geometrisk? Hvordan sjekker du det?
Det er i grunnen det aritmetiske prinsippet med å finne differanser
mellom leddene som er det mest generelle! La oss prøve. Ser du
systemet i denne oppstillingen?
Differanse av differanser: 2 2 2 2 2 ... Differanse: 2 4 6 8 10 12 ... an: 0 2 6 12 20 30 42 ...
Hva er uttrykket for den andre differansefølgen over? Den første? Vi kunne i tillegg ha fortsatt denne oppstilingen, hvor følgene over alltid er differanser mellom ledd i følgen under, også på undersiden:
Differanse av differanser: 2 2 2 2 2 ... Differanse: 2 4 6 8 10 12 ... an: 0 2 6 12 20 30 42 ... An: 0 0 2 8 20 40 70 112 ...
Det er nokså åpenbart at den første differansen er bn=2n
og den andre cn=2, altså funksjonsuttrykk av første
og nullte grad.
Hva slags funksjonsuttrykk tror du da den opprinnelige følgen
har?
Og summefølgen An under? (Som har den opprinnelige
følgen som differansefølge!)
Når man ser dette systemet kan man bruke lommeregnerens regresjonsmuligheter til å finne eksplisitte uttrykk for det n'te leddet! Når vi innser at den opprinnelige følgen har funksjonsuttrykket an=an2+bn+c (2dre grad), kan vi bruke regresjon til å finne an på denne måten:
{1,2,3}, STO>, L1, ENTER (Legger 1,2 og 3 i listen L1, altså den uavhengig variabelen n.)
{0,2,6}, STO>, L2, ENTER (Legger 0,2 og 6 i listen L2, alstå funksjonsverdiene a1, a2 og a3)
STAT, CALC, 5:QuadReg L1,L2, ENTER gir da følgende resultat:
Vi har altså funnet an=n2-n=n(n-1)
Ved å legge uttrykket i funksjonen Y1: Y1=X^2-X (med X istedenfor n), kan vi grafe og kontrollregne:
Y1(4) gir f.eks. 6, Y1(6) gir 30 o.s.v.
(Tips:
Når man har gjort QuadReg, kan man gå rett til
Y=, stå på Y1 og trykke: VARS,
5:Statistics, EQ,1:RegEQ, ENTER, og få lagt uttrykket
rett inn i Y1 uten å taste alt på nytt!)
Hva om vi skulle regne ut summen av 200 ledd i denne følgen?
Vi finner tilsvarende funksjonsuttrykket for An: (som bør være av 3de grad!)
{1,2,3,4}, STO>,L1,ENTER
{0,0,2,8},STO>,L2,ENTER
STAT,CALC,6:CubicReg L1,L2, ENTER
og får:
Hvis vi legger dette inn i Y2=X^3/3-X^2+2/3*X, kan vi regne ut summen av 200 ledd av følgen an med:
Y2(201)
og får da 2.666.600.
(Obs: Igjen ligger An "en etter" an!)
La oss ta et eksempel med en geometrisk følge:
an: 1,3,9,27,81,243,729, ...
| Differanse: | 2 | 6 | 18 | 54 | 162 | 486 | ... | |
| an: | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | ... |
| An: | 0 | 1 | 4 | 13 | 40 | 121 | 364 | 1093 ... |
Legg merke til at differansefølgen også er geometrisk og akkurat 2 ganger så stor!
Hvis vi gjør et lite trick, og legger til 1/2 i alle leddene i An, ser vi at An tilsvarende blir halvparten så stor som an:
| An | 1/2 | 3/2 | 9/2 | 27/2 | 81/2 | 243/2 | 364/2 | 1093/2 |
Summe- og differansefølger av geometriske følger er altså lik den opprinnelige følgen, bare dividert med eller multiplisert med 2. (Som er lik (3-1)=(k-1), hvilket gjelder generelt.)
Da an=1·3n-1, blir altså An=3n-1/2.
Summen a1+a2+a3+...+an
blir derfor An+1-A1=3n/2-1/2=(3n-1)/2.
Dette stemmer med den vanlige formelen a1·(kn-1)/(k-1)
Metodikken med å se på differansefølger og summefølger som
vist i 6. Bruk av regresjon gir store muligheter for videre
undersøkelser og prosjektarbeider.
Ved å se på tabelloppstillingene ser man at vi kan definere:
an=diff(An) = An+1-An
Summen
a1+a2+a3+...+an
blir da:
(A2-A1)+(A3-A2)+(A4-A3)+...+(An+1-An)
Ved å se at alle ledd, unntatt An+1 og A1, forekommer to ganger med motsatt fortegn, kan vi forenkle til:
a1+a2+a3+...+an=An+1-A1
eller sagt på en litt annen måte:
Sammenlign differanse- og summeformlene:
og
med fundamentalteoremet i analysen:
og
!
Differanse- og summeformlene over, som altså ligner svært på fundamentalteoremet i analysen (Integralet fra a til b er F(b)-F(a) der F'(x)=f(x)), er helt generelle og gjelder for alle følger!
(I eksemplet lenger opp la vi til konstanten 1/2 til
summefunksjonen An.
Dette tilsvarer integrasjonskonstanten C som vi legger til
integralfunksjonen F(x) når vi skal regne ut integraler!)
Klarer du å utlede de vanlige summerformlene for aritmetiske og geometriske følger ut fra differanse- og summeformlene over?
