Newtons lov om varmetransport

H-P Ulven, 01.04.09

Avkjøling av kaffekopp

Løsning med regresjon på måledata.
Teoretisk løsning av differensialligning.
Numerisk løsning av differensialligning med Eulers metode.

Måleserie fra en 3MX-time for noen år siden:

Romtemperatur: T_omg=24 ^oC

Tid:[min]Temperatur:[^oC]
0       86
5       72
10      64
15      57.6
20      53
25      48
30      45
35      42
40      39.5
45      37
50      35
55      33.5
60      32
65      31
70      30
75      28.5
80      27
85      27
90      26

Regresjon i GeoGebra:

Vi kan ikke kjøre regresjon direkte på punktene, da RegEksp returnerer: Ae^-kx.

Siden dette ble skrevet i 2009, har GeoGebra fått en generell kommando Reg[Liste, testfunksjon], som gjør at vi slipper
å justere tabellen i regenearket slik det er vist under.
Nå lager vi først en testfunksjon: test(x) = 24 + (86-24) exp(-k x), der 86 er starttemperaturen.
Vi får da glider k, som vi kan justere.

T(x) = Reg[Liste1,test] gir oss da T(x) = 24 + 62 e^-0.0366x

Vi trenger: B+Ae^-kx da det teoretiske resultatet skal bli: T(t)=T_omg+(T₀-T_omg)e^-kt

Vi flytter derfor punktene 24 grader ned før vi utfører regresjonen, vi lager altså først T(t)-T_omg og regner deretter ut T(t) ved å addere T_omg:

Legger verdiene i regnearket i A- og B-kolonnen

Merker og lager liste av punkter. (liste1)

Lager liste med romtemp: romtemp=Følge[(0,24),i,1,19]

Flytter ned punktene mot x-akse: L=liste1-romtemp

f(x)=RegEksp[L] gir f(x)=60.8e^-0.0353x .

Vi får derfor modellen: reg(x)=f(x)+T_omg=24+60.8e^-0.0353x (Se figur 1.)

Figur 1.

Figur 1.

Differensialligning

T'=-k(T-T_omg)

Som har løsning:

T=T_omg+(T₀-T_omg)e^-kt

Vi legger inn denne teoretiske løsningen i GeoGebra som f(x)=T_{omg}+(T_0-T_{omg})*exp(-k*x)
med glider k i intervallet 0 til 1 med trinn 0.01.

Justering av glider til k=0.036 gir ganske bra resultat:

Figur 2.

Dette gir resultatet:

T=24+62e^-0.036t

Numerisk utregning med Eulers metode

For alle differensialligninger på formen y'=f(x,y) kan vi regne ut tangenter i ethvert punkt på løsningskurven.

Vi kan derfor starte med startverdier x₀ og y₀, og generere tilnærmet fortsettelse av kurven ved å gå små skritt langs kurven, som antydet i figur 3:

Figur 3.

Hvis skrittene (delta x) er små, vil forskjellen på riktig verdi R og vår verdi Q bli liten.

Vi kan derfor generere en tilnærmet løsningskurve rekursivt på denne måten:

Figur 4.

Dette kan gjøres i regnearket i GeoGebra:

Vi har T₀ og T_omg, og lager i tillegg glideren delta_x:

	C	D	E	Kommentar
1	=A1	=B1	=-k*(D1-T_{omg})	Regner ut y'=f(x,y) i E1
2	=C1+delta_x	=D1+E1*delta_x	...	Og kopierer cellene nedover ...
3	...	...	...
...	...	...	...

Resultatet fremstiller vi ved å markere C- og D-kolonnen og lage en liste med punkter.

Punktene er vis med rød farve i figuren:

Figur 5.

Konklusjon:

Regresjonskurven (reg), teoretisk løsning av differensialligning (dl) og numerisk utregning av løsningskurve (røde punkter) stemmer ganske bra overens!

(Faktisk ser det ut til at det mest unøyaktige her er måleverdiene! (Unøyaktig avlesning av termometer?)

GeoGebra-fil: kaffe.ggb

GeoGebra-applet: kaffe_demo.html